Scènes

Musique et modélisation à l’EHESS

Séminaire au croisement des mathématiques, des sciences cognitives et de la création artistique.


Mercredi 15 mars, le grand amphithéâtre de l’École des Hautes Études en Sciences Sociales (EHESS) fut le théâtre d’un ballet singulier où se croisèrent mathématiques, musique, anthropologie, sciences cognitives, philosophie… et Bernard Lubat. Autant de champs (et chants) d’études convoqués pour cerner, de près ou de loin, la question de l’origine de la musique et ses enjeux esthétiques.

Pendant trois heures passionnantes, Michel Broué, Marc Chemillier et donc Bernard Lubat ont conjugué leurs différents talents pour, en résumant rapidement, aborder la question de la structure au sein de la musique, structure (si elle existe !) que le mathématicien cherchera à modéliser à partir d’observations empiriques et d’éclaircissements prodigués par l’artiste.

En visant l’exhaustivité, le présent texte essaie de rendre compte des différentes idées soulevées lors de ce séminaire. Il est néanmoins prudent d’exposer quelques préliminaires destinés au lecteur avant d’aborder les trois parties qui le constituent :

  • La première partie présente par moment un formalisme mathématique qui pourra sembler abscons mais qui est nécessaire pour rendre compte de propriétés structurelles des gammes musicales. On conseillera au lecteur de ne pas forcément s’acharner ici.
  • La seconde partie rentre moins dans ce formalisme et expose des idées importantes dans la modélisation de la musique et sa création (mais aussi plus généralement de phénomènes biologiques et physiques).
  • La dernière partie, enfin, propose le point de vue esthétique et philosophique de Bernard Lubat sur l’approche précédente.

I) Les tonalités musicales vues par un mathématicien.
Michel Broué

Le premier intervenant, mathématicien de renom et actuel directeur de l’Institut Henri Poincaré, propose une mise en jambes ludique et sans réelles prétentions explicatives, autour d’une étude algébrique simple de la gamme majeure. Il s’agit pour Michel Broué de dégager des propriétés combinatoires remarquables de cette gamme, et de voir en quoi ces propriétés la définissent de manière unique, ce qu’il fait avec clarté, rigueur de raisonnement et décontraction (trois qualités rares chez les scientifiques !).


JPEG - 23.9 ko
Michel Broué
Photo : Mariane Daquet

  • Son cadre de travail, volontairement simplifié, reprend les principes du tempérament égal : on définit une note de base, le La [1]. Si on multiplie cette fréquence par deux, on se retrouve sur un La plus aigu. L’écart entre ces deux La constitue une octave. Les 11 autres notes classiques doivent vérifier une certaine égalité de proportion : le rapport des fréquences associées à deux notes consécutives doit toujours être le même. Ceci définit ainsi le demi-ton, égal à la racine douzième de 2 ( [2]).

Une fois ce cadre posé, il est légitime de ne s’intéresser qu’à un ensemble abstrait de douze notes (do, do dièse, ré, ré dièse, mi, fa, fa dièse, sol, sol dièse, la, la dièse, si ou l’équivalent bémolisé), chacune contenant en puissance toutes les notes audibles par l’oreille humaine. Par exemple l’élément LA englobe toutes les notes de fréquence 55, 110, 220, 440, 880 Hz etc, non distinguables d’un point de vue mathématique (et pas psychophysique puisque la fréquence influe sur le caractère aigu ou grave d’une note). Les opérations de transposition, d’un demi-ton vers le haut (en « diésant ») ou vers le bas (en « bémolisant »), laissent globalement invariant notre ensemble et appliquées 12 fois à une note déterminée, redonnent la note de départ. Ces propriétés évidentes pour tout musicien le sont aussi pour celui qui a fait un peu de mathématiques, puisque il s’agit là d’un exemple très simple de groupe [3].

  • Poursuivant ce divertissement algébrique, Michel Broué passe au dénombrement de toutes les gammes que l’on peut obtenir à partir de l’ensemble de 12 notes (une gamme en étant un sous-ensemble). Ce petit exercice, déjà réalisé en son temps par Messiaen [4], conduit donc à 4096 tonalités possibles (2^12), soit 352 modes distincts (aux transpositions près). Parmi eux, 17 sont à transposition limitée, c’est-à-dire qu’on retombe sur la gamme de départ après moins de 12 transpositions [5].

JPEG - 21.2 ko
Marc Chemillier
Photo : Mariane Daquet

Enfin, en constatant que pour passer de Do majeur à Fa majeur (transposition de 5 demi-tons vers l’aigu) on ne change qu’une seule note (le si bémol remplace le si), Michel Broué en vient à une propriété clef de la gamme majeure : c’est l’unique gamme de 7 notes qui ne présente qu’un seul changement lorsqu’on la tranpose de 5 ou 7 demi-tons [6]. Plus généralement, pour un nombre donné de notes, il n’existe qu’une seule gamme vérifiant la propriété précédente [7].

  • Ce divertissement achevé, un semblant de polémique est soulevé par le démographe Hervé Le Bras, soucieux d’évoquer une construction de la gamme majeure plus naturelle à ses yeux : celle de Pythagore reprise par Platon dans La République avec le cycle des quintes [8]. Le débat fera long feu dans la mesure où la construction présentée par Michel Broué se veut purement ludique et n’aurait aucune légitimité à démontrer une existence en soi de la musique ou des gammes.

II) Modélisation des musiques de tradition non écrite.
Marc Chemillier

Un peu frustré par le manque d’ambition avoué de l’exposé précédent (cependant très divertissant, faut-il le rappeler), on passe à la suite du séminaire avec curiosité et impatience. Il faut dire que l’intervenant suivant possède un cursus atypique. Docteur en informatique, Marc Chemillier est également ethnomusicologue et combine ces deux talents entre l’Université de Caen et l’IRCAM [9]. Son exposé se décline en trois parties assez distinctes dans leurs traitements mais réunies au sein de la thématique des musiques non écrites et de leurs structures. On devine bien l’importance de telles études puisqu’il s’agit d’une manière sans doute très directe d’accéder à un processus créatif spontané, ou en tout cas moins formalisé par une représentation figée (la partition).


JPEG - 14.3 ko
Rythmes Aka
D’après les documents de Marc Chemillier

  • Le premier volet traite de rythmes asymétriques rencontrés chez certaines tribus pygmées d’Afrique. La figure 3 représente une superposition de rythmes, avec la partie d’intérêt, en rouge, jouée par des lames de machettes en fer entrechoquées. On remarque la présence d’un rythme de base (croche/demi-soupir comptant pour 2 unités) entrecoupé d’irrégularités (croche croche demi-soupir comptant pour 3 unités) donnant un effet de boitement. On obtient pour l’exemple proposé la succession 3-2222-3-22222, avec des blocs de 3 unités séparés alternativement par quatre ou cinq blocs de 2 unités.

GIF - 33.7 ko
La propriété d’imparité rythmique schématisée
D’après les documents de Marc Chemillier

Cet exemple peut être relié à toute une catégorie de rythmes d’Afrique centrale (dans les tribus Gbaya, Ngbaka, Nzakara, Zandé) qui vérifient ce que l’ethnologue Simha Arom appelle une propriété d’imparité ryhtmique. Pour faire simple, si on positionne des blocs de 2 et 3 unités qui constituent le rythme sur un cercle (comme sur la figure 4), on ne peut en aucun cas couper ce cercle en deux parties égales (comme une orange, pour reprendre l’image de Marc Chemillier) et ce quel que soit le point choisi pour la découpe. Marc Chemillier montre ensuite que cette propriété peut se formaliser dans un cadre combinatoire, ce qui offre une méthode de dénombrement de tous les rythmes possibles [10].

Le matériel théorique utilisé par Marc Chemillier est certes plus élaboré que pour les dénombrements de gamme mais la portée de son étude repose sur le fait que « l’énumération a montré que les combinaisons vérifiant la propriété étudiée étaient rares. On est donc confronté à la question suivante : Pourquoi observe-t-on cette forte proportion de combinaisons rares là où on devrait observer un tirage équiprobable parmi la multitude de combinaisons possibles ? ». En d’autres termes, les rythmes asymétriques rencontrés chez les Pygmées d’Afrique centrale correspondent à des constructions mathématiques élaborées que l’on devrait retrouver rarement mais qui sont pourtant prépondérantes.

Laissons à Marc Chemillier le soin de répondre à sa propre interrogation :
« Pour expliquer cette concentration »anormale« , qui ne paraît pas liée à la poursuite d’une quelconque fin, on est donc conduit à faire l’hypothèse selon laquelle c’est la propriété formelle elle-même qui a été en quelque sorte ’voulue’, qui constitue une fin en soi, manifestant ainsi une préoccupation d’ordre mathématique même si celle-ci est dans une large mesure implicite. »
Mais il convient aussi de souligner la difficulté d’étudier le processus créatif en soi dans les musiques non écrites puisque les témoignages à la première personne sont rares :
« Pour donner à ce type d’étude une portée cognitive, il faudrait que les gens eux-mêmes parlent de ces propriétés, ce qui est rarement le cas. »


JPEG - 35.7 ko
Laborintus, Berio

  • La deuxième partie de l’exposé se présente sous une forme plus récréative avec l’écoute commentée d’une séquence du morceau Laborintus de Luciano Berio. Il s’agit d’une oeuvre majeure du compositeur italien enregistrée en 1965 sous sa direction et avec les prestigieux Michel Portal, Jean-Pierre Drouet, Bernard Lubat, Jean-François Jenny-Clarke, entre autres. Les deux mouvements (19 et 14 minutes) proposent une synthèse de la musique contemporaine et du jazz dans son versant improvisationnel.

L’extrait proposé par Marc Chemillier (dont on peut voir un fragment de la partition sur la figure 5) est, comme l’écrit Berio lui-même, libre et facultatif pour l’interprète. Les indications sont maigres mais on peut se délecter d’un « On recommande le style free jazz des années 60 ». L’écoute commence par des « Jean-Pierre » (Drouet ?), quelques bruits et conversations de studio puis une walking bass et un chabada vindicatifs (« Elvin Jones Tempo » dit aussi la partition !) viennent apporter une improvisation vocale et instrumentale diabolique. Il y a quelque chose d’un peu incongru mais de parfaitement réjouissant à entendre cette musique barbare et savante à la fois dans ce grand amphithéâtre.

  • La dernière partie opère la transition avec l’intervention de Bernard Lubat puisqu’il s’agit de la présentation du projet IRCAM-Lubat, une collaboration rare entre des scientifiques (Marc Chemillier, Gérard Assayag) et un artiste autour du thème de l’improvisation avec ordinateur. On peut distinguer deux aspects dans ce travail :

1) Dans un premier temps, il s’agit d’appréhender les processus d’improvisation et la musique résultante par des modèles mathématico-informatiques. De même que pour l’étude de phrases d’un langage, toute séquence de notes peut être vue comme une suite de variables générées aléatoirement mais dont on peut estimer les règles de transition d’une note à une autre, ou de 2, 3 etc. notes à la suivante. De telles approches appartiennent à la catégorie des modèles de chaînes de Markov (1902). Ils ne prétendent pas forcément expliquer le processus créatif mais fournissent une sorte de générateur de notes, qui sera d’autant plus complexe que sa « mémoire » [11] le sera.


JPEG - 24.3 ko
Le LubathyscapheK
Photo : Yves Chaudouet

2) Une fois que l’on peut modéliser et simuler le jeu d’un artiste, ici Bernard Lubat, l’idée suivante est de confronter les deux « créateurs », en temps réel (ce qui n’est pas un vrai problème, informatiquement parlant). Le résultat est ensuite diffusé dans l’amphithéâtre. Avec un petit côté Uri Caine (dans Bedrock), on peut entendre Lubat aux claviers et une walking bass « informatique » dont chaque note dépend en temps réel de ce que Lubat a joué auparavant. Le vertige peut commencer à nous gagner devant une telle boucle d’action/réaction qui s’instaure entre l’humain et la machine. Vient alors le moment nécessaire du témoignage à la première personne (que l’on pourra rapprocher de celui d’Olivier Sens dans son interview) sur Citizen Jazz…

III) Jazz, musique contemporaine, technologie.
Bernard Lubat

L’édition 2005 du festival d’Uzeste a offert au grand public une mise en scène du projet précédent avec le spectacle Lubathyscaphe K (Submersible jazz-cognitif). Le sous-marin n’est ni yellow ni vert, et les quelques scènes projetées par le plasticien Yves Chaudouet évoquent une plongée intimiste dans les profondeurs… de l’âme humaine (ou dans l’inconscient comme le fera remarquer un intervenant) !

Bernard Lubat s’assied ensuite, un peu hésitant, un peu intimidé par cette assemblée sérieuse. Son discours n’a pas forcément la rigueur de construction des deux autres intervenants mais son propos vole, de mots en mots et de jeux de mot en slogans un peu décalés (« les maths c’est de la politique »). Son expérience du LubathyscapheK, déclinée en inventaire phénoménologique, est un délice linguistique mais pas seulement. Lubat décrit des impressions intérieures saisissantes et soulève de grandes questions. On comprend sa perplexité (peut-être exagérée) d’apprendre qu’il « chevauchait les mathématiques sans le savoir » ! Un peu comme si le monde réel avait quelque chose de plus réel encore, mais caché à travers une structure mathématique.

Mais surtout, on sent chez Lubat le caractère magique de ce que l’ordinateur « renvoie à un autre [soi]-même ». Comme si la machine et ses algorithmes markoviens dédoublaient l’artiste, le clonaient en lui révélant aussi une part enfouie de lui-même. Lubat peut ainsi « être confronté avec les travers de sa musique » et aussi être « persuadé qu’[il] joue et quand [il] arrête, ça continue ! ». Au fond, le fait de ne pas jouer avec d’autres musiciens ne semble pas affecter la profondeur de sa démarche créative, puisqu’il ne souffre apparemment pas de la solitude. Voilà bien une révolution quant aux rapports de l’Homme et de la machine, loins des clichés sur une quelconque sécheresse des projets impliquant les technologies nouvelles. Bien entendu on se laisse encore gagner par le vertige lorsqu’un membre de l’assistance suggère d’étendre le dispositif à plusieurs musiciens, plusieurs ordinateurs…


JPEG - 23.1 ko
Bernard Lubat
Photo : Mariane Daquet

Lubat soulève aussi un dernier point important quant au statut juridique d’une oeuvre produite par l’interaction homme/machine. Ces « musiques désagréables à l’oseille » [12] sont-elles déclarables à la SACEM ? Comme pour de nombreuses parties du Laborintus de Berio, la partition peut être écrite après coup (« je fais un festival, j’écris le programme après » dira aussi Lubat !) mais qui en est le véritable auteur ? L’artiste ? La machine ? Le modèle markovien ? Les concepteurs, éventuellement breveteurs ? Un peu tout le monde ?

Il manque peut-être, pour que la machine soit créatrice, comme le souligne très judicieusement Jean-Pierre Nadal, chercheur en physique statistique et sciences cognitives, le futur lui-même, qui ne se réduit pas à sa prédiction imparfaite par le passé. Le futur dans l’acte créatif c’est aussi l’intentionnalité, l’erreur parfois et peut-être aussi la rareté, l’imprévisibilité, toute cette partie peut-être non modélisable, ou beaucoup plus fine en tout cas. Car lorsque Lubat dit qu’il « doit savoir perdre » vis-à-vis de la machine, c’est à dire s’arrêter parce que ça ne marche plus, ce qui apparaîtrait comme faiblesse n’est que la suprématie du pouvoir décisionnel de l’Homme, là où la machine continue ad libitum sans pouvoir vouloir s’arrêter, elle.

Le mot de la fin sera pour Henri Berestycki, un des organisateurs de ce séminaire passionnant. Par-delà les modèles présentés, les impressions personnelles recueillies, ne reconnaît-on pas toujours la musique à ses silences ?

par Julien Lefèvre // Publié le 1er mai 2006
P.-S. :
  • Exposition du plasticien Yves Chaudouet, du 29 avril au 27 mai à la Galerie &, (10, rue Duchefdelaville, 75013 Paris).

[1Correspondant à une certaine fréquence, 422.5 Hz chez Haendel à environ 440 Hz aujourd’hui. Michel Broué se plait même à rappeler que la valeur avait été fixée à 435 Hz par décret au XIXè siècle.

[2Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Gammes_et_temp%C3%A9raments pour une présentation détaillée

[3En l’occurence ici, il s’agit d’un des groupes à 12 éléments, noté Z/12Z et prononcé « Z sur 12 Z »

[4Il aurait d’ailleurs oublié des cas, souligne, goguenard, Michel Broué, en évoquant aussi… la gamme vide !

[5L’exemple le plus naturel est celui de la gamme par ton, constituée de 6 notes séparées d’un ton, qui est invariante après deux transpositions

[65 et 7 jouent des rôles remarquables mathématiquement puisque ce sont les seuls éléments inversibles de Z/12Z : 5*5=1 modulo 12, et 7*7=1 modulo 12

[7Pour 5 il s’agit de la gamme pentatonique, qui est complémentaire de la gamme majeure : par exemple, la réunion de la gamme de Do majeur et de Sol bémol pentatonique majeur redonne les 12 notes.

[8Chez ces deux auteurs, le rapport entre la fréquence d’un Do et celle d’un Sol (qui définit la quinte) est de 3/2 alors qu’il est de 2^(7/12)=1.4983 dans le tempérament égal. Bien qu’infime, l’écart entre ces deux rapports est à la base de la notion de comma, et de colorations particulières que le tempérament égal occultera peu à peu.

[9Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique

[10Voir M. Chemillier, C. Truchet : « Computation of Words Satisfying the Rhythmic Oddity Property (after Simha Arom’s Works] », Information Processing Letters, vol. 86, n°5 (2003), pp. 255-261 (http://users.info.unicaen.fr/~marc/publi/pygmees/pygmees.pdf)

[11Le nombre de notes qu’il faut considérer avant un instant donné pour « prédire » la note suivante

[12© B. Lubat pour le jeu de mot !